Question

9．设F₁是椭圆${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{PO}$的最大值为（　　）

• A． $4+2\sqrt{3}$
• B． $4-2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 根据椭圆的标准方程求出F₁的坐标（0，-$\sqrt{3}$），设P（x，y），求出向量$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{PO}$的坐标，结合点P满足椭圆的方程，把数量积转化为关于P的横坐标的函数，利用配方法求得最大值．

解答 解：由椭圆的标准方程知F₁（0，-$\sqrt{3}$），设P（x，y），
则：$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{PO}$=（-x，-$\sqrt{3}$-y）•（-x，-y）=${x}^{2}+\sqrt{3}y+{y}^{2}$=1-$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\sqrt{3}$y+y²
=$\frac{3}{4}{y}^{2}+\sqrt{3}y+1$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}y+1）^{2}$．
∵-2≤y≤2，∴当y=2时，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{PO}$取最大值4+2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了椭圆的性质，平面向量的数量积，函数的值域，是中档题．