Question

4．已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心在第二象限，半径为$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为2的直线l，l截圆C所得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点，若存在，则求出l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求得圆心C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），在x+y-1=0上，且半径r=$\frac{\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}}{2}$=$\sqrt{2}$，联解得D、E的值，即可得到圆C的标准方程；
（2）利用l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，建立条件方程即可得到结论．

解答 解：（1）将圆C化成标准方程，得（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（D²+E²-12）
∴圆C的圆心坐标为（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半径r=$\frac{\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}}{2}$，
∵圆C关于直线x+y-1=0对称，半径为$\sqrt{2}$．
∴-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0且$\frac{\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}}{2}$=$\sqrt{2}$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{D=-4}\\{E=2}\end{array}\right.$
结合圆心C在第二象限，得C的坐标为（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圆C的方程是（x+1）²+（y-2）²=2 （6分）
（2）假设存在满足要求的直线l，设其方程为y=2x+b，
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），由题意，y₁y₂+x₁x₂=0  （8分）
得：5x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²=0（*）   （10分）
将y=2x+b代入圆的方程（x+1）²+（y-2）²=2得：5x²+（4b-6）x+b²-4b+3=0
∴x₁+x₂=-$\frac{4b-6}{5}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-4b+3}{5}$代入（*）得：2b²-8b+15=0 （14分）
∵△＜0，∴方程无解，满足条件的直线不存在．（16分）

点评 本题主要考查圆的标准方程的求解，直线和圆的位置关系应用，一元二次方程根与系数的关系．根据圆的对称性是解决本题的关键．