Question

19．设函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值与最小值之和为2．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值为g（x）_max+1，最小值为g（x）_min+1，
函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值与最小值之和为g（x）_max+1+g（x）_min+1．

解答 解，设函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，
令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，g（x）是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
g（x）_max+g（x）_min=0
函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值为g（x）_max+1，最小值为g（x）_min+1，
∴函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值与最小值之和为
g（x）_max+1+g（x）_min+1=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了函数的奇偶性及最值，恰当运用奇函数的性质是关键，属于基础题．