Question

15．已知函数$f（x）=aInx+\frac{1}{x}（a∈R）$
（1）当a=2时，求函数y=f（x）的极值；
（2）如果函数g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；
（3）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）利用导数与函数单调性的关系判断极值的位置，代入原函数即可．
（2）利用导数与单调性的关系得出-2x²+ax-1＜0，x＞0恒成立，a＜2x$+\frac{1}{x}$，x＞0，利用基本不等式求解即可得出a的范围．
（3）利用导数判断单调性得出最小值f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna），分类讨论得出当a（1-lna）=0，即a=e时，y=f（x）零点的个数为1．当a（1-lna）＜0，即a＞e时，y=f（x）零点的个数为2，当a（1-lna）＞0，即0＜a＜e时，y=f（x）零点的个数为0．

解答 解：∵函数$f（x）=aInx+\frac{1}{x}（a∈R）$，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$，
（1）a=2，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=0，x=$\frac{1}{2}$，
f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$＞0，x$＞\frac{1}{2}$，
f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$＜0，0＜x$＜\frac{1}{2}$
f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）单调递减，（$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增，
∴函数y=f（x）的极小值为f（$\frac{1}{2}$）=2ln$\frac{1}{2}$+2=2-2ln2．
（2）g（x）=f（x）-2x=alnx$+\frac{1}{x}$-2x，函数g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上单调递减，
g′（x）=$\frac{a}{x}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$-2=$\frac{-2{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}$＜0，
-2x²+ax-1＜0，x＞0恒成立，
a＜2x$+\frac{1}{x}$，x＞0，
∵2x$+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$等号成立
a$＜2\sqrt{2}$
（3）f′（x）=$\frac{a}{x}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$，x＞0，a＞0
$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$=0，x=$\frac{1}{a}$，
$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$＞0，x＞$\frac{1}{a}$，
$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$＜0，0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增，
f（x）的最小值f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna）
当a（1-lna）=0，即a=e时，y=f（x）零点的个数为1．
当a（1-lna）＜0，即a＞e时，y=f（x）零点的个数为2
当a（1-lna）＞0，即0＜a＜e时，y=f（x）零点的个数为0

点评 本题综合考查了导数在判断函数单调性，零点问题中的应用，分类讨论思想的运用，属于中档题．