Question

7．已知三次函数f（x）=2ax³+6ax²+bx的导函数为f′（x），则函数f（x）与f′（x）的图象可能是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 求函数的导数，结合一元二次函数的图象以及三次函数的极值关系分别进行判断即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=6ax²+12ax+b，对称轴为x=-$\frac{12a}{2×6a}$=-1，b=f′（0），
而f（0）=0，
A和D选项中，二次函数f′（x）的对称轴不是x=-1，不满足条件．
B．二次函数的函数零点为-4，2，
则-4×2=$\frac{b}{6a}$=-8，即b=-48a，且a＞0，
则f′（x）=6ax²+12ax-48a=6a（x²+2x-8）=6a（x-2）（x+4），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜-4，此时函数递增，
由f′（x）＜0得-4＜x＜2，此时函数递减，
即当x=2时，函数f（x）取得极小值，当x=-4时，函数f（x）取得极大值，故B正确，
C中，二次函数过原点，则f′（0）=0，即b=0，且a＞0，
则f′（x）=6ax²+12ax=6ax（x+2），
f′（x）＞0得x＞0或x＜-2，此时函数递增，
由f′（x）＜0得-2＜x＜0，此时函数递减，
即当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=-2时，函数f（x）取得极大值，故C错误，
故选：B．

点评 本题主要考查函数图象的判断和识别，根据一元二次函数的性质结合三次函数的极值的性质是解决本题的关键．