Question

15．已知函数f（x）=lnx-ax+3，a∈R．
（1）当a=1时，计算函数的极值；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出极值点，利用函数的单调性，求解函数的极值．
（2）求出函数f（x）的定义域，函数的导数，通过当a≤0时，当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x+3，$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$（1分）
令f'（x）＞0解得0＜x＜1，所以函数f（x）在（0，1）单调递增；   （2分）
令f'（x）＜0解得x＞1，所以函数f（x）在（1，+∞）单调递增；    （3分）
所以当x=1时取极大值，极大值为f（1）=2；函数无极小值． （4分）
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-a$；       （5分）
当a≤0时，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$在（0，+∞）恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增；（7分）
当a＞0时
令f'（x）＞0解得$0＜x＜\frac{1}{a}$，所以函数f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$单调递增；
令f'（x）＜0解得$x＞\frac{1}{a}$，所以函数f（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$单调递减；（10分）
综上所述：当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为$（0，\frac{1}{a}）$，单调减区间为$（\frac{1}{a}，+∞）$   （12分）

点评 本题考查函数的导数求解函数的极值，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力．