Question

6．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，$C{C_1}=2\sqrt{2}$，E为棱CC₁的中点，则直线AC₁与平面BDE的距离为1．

Answer 1

分析 先利用线面平行的判定定理证明直线C₁A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可．

解答 解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC₁A中，易证OE∥C₁A，
从而C₁A∥平面BDE，
∴直线AC₁与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，
在三棱锥E-ABD中，V_E-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD×EC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×$\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
在三棱锥A-BDE中，BD=2$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{6}$，DE=$\sqrt{6}$，
∴S_△EBD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{6-2}$=2
∴V_A-BDE=$\frac{1}{3}$×S_△EBD×h=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{2}$×h=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴h=1
故答案为：1．

点评 本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属于中档题