Question

11．已知⊙C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对任意实数m，直线与⊙C总有两个不同的公共点；
（2）求直线被⊙C截得的线段最短时直线的方程．

Answer 1

分析 （1）确定直线l恒过定点A（1，1），定点A（1，1）在圆内，即可证明直线l与圆C相交；
（2）直线被⊙C截得的线段最短时，CA⊥l，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵直线l的方程为mx-y+1-m=0，
∴m（x-1）-y+1=0，
令x-1=0，-y+1=0，∴x=1，y=1，
∴直线l恒过定点A（1，1），
∴1²+（1-1）²=1＜5，
∴定点A（1，1）在圆内，
∴直线l与圆C相交；
（2）解：直线被⊙C截得的线段最短时，CA⊥l，
∵k_CA=0，
∴直线l的方程为x=1．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题．