Question

17．设a₁，a₂，a₃为正数，求证：$\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}{a}_{1}}{{a}_{2}}$≥a₁+a₂+a₃．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：∵a₁，a₂，a₃为正数，
∴$\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}}$≥2a₂，$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}{a}_{1}}{{a}_{2}}$≥2a₃，$\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}{a}_{1}}{{a}_{2}}$≥2a₁，
三式相加，整理可得$\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}{a}_{1}}{{a}_{2}}$≥a₁+a₂+a₃．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．