Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）如果椭圆M的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，经过点P（2，1）．
①求椭圆M的方程；
②经过点P的两直线与椭圆M分别相交于A，B，它们的斜率分别为k₁，k₂．如果k₁+k₂=0，试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．
（2）如果椭圆M的a=2，b=1，点B，C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F两点．若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）①由已知得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
②直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．由已知直线PA：y-1=k₁（x-2）代入椭圆M的方程消去y并整理得：（x-2）$[（1+4{k}_{1}^{2}）x+（2+8{k}_{1}-8{k}_{1}^{2}）]$=0，解得点A的坐标．同理解得点B的坐标．由k₁+k₂=0，可得k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{1}{2}$为定值．
（2）直线TB方程为y=$\frac{1}{t}$x+1，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得：（t²+4）x²+8tx=0，解得x_E，直线TC方程为：y=$\frac{3}{t}$x-1，代入椭圆方程可得：x_F．k=$\frac{{S}_{△TBC}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}TB•TC•sin∠BTC}{\frac{1}{2}TE•TF•sin∠ETF}$=$\frac{TB•TC}{TE•TF}$=$\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-{x}_{E}}$•$\frac{{x}_{T}-{x}_{C}}{{x}_{T}-{x}_{F}}$，代入化简换元利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）①由已知得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，
联立解得a²=8，b²=2．
椭圆M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
②直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．
由已知直线PA：y-1=k₁（x-2）代入椭圆M的方程消去y并整理得：（x-2）$[（1+4{k}_{1}^{2}）x+（2+8{k}_{1}-8{k}_{1}^{2}）]$=0，
∴x_A=$\frac{8{k}_{1}^{2}-8{k}_{1}-2}{1+4{k}_{1}^{2}}$，y_A=$\frac{-4{k}_{1}^{2}-4{k}_{1}+1}{1+4{k}_{1}^{2}}$．
同理x_B=$\frac{8{k}_{2}^{2}-8{k}_{2}-2}{1+4{k}_{2}^{2}}$，y_B=$\frac{-4{k}_{1}^{2}-4{k}_{1}+1}{1+4{k}_{2}^{2}}$．
∵k₁+k₂=0，∴y_A-y_B=$\frac{4（{k}_{1}-{k}_{2}）（4{k}_{1}{k}_{2}-1）}{（1+4{k}_{1}^{2}）（1+4{k}_{2}^{2}）}$，x_A-x_B=$\frac{8（{k}_{1}-{k}_{2}）（4{k}_{1}{k}_{2}-1）}{（1+4{k}_{1}^{2}）（1+4{k}_{2}^{2}）}$，
∴k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{1}{2}$为定值．
（2）直线TB方程为y=$\frac{1}{t}$x+1，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得：（t²+4）x²+8tx=0，
解得x_E=$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，
直线TC方程为：y=$\frac{3}{t}$x-1，代入椭圆方程可得：x_F=$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$．
k=$\frac{{S}_{△TBC}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}TB•TC•sin∠BTC}{\frac{1}{2}TE•TF•sin∠ETF}$=$\frac{TB•TC}{TE•TF}$=$\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-{x}_{E}}$•$\frac{{x}_{T}-{x}_{C}}{{x}_{T}-{x}_{F}}$=$\frac{t}{t+\frac{8t}{{t}^{2}+4}}$$•\frac{t}{t-\frac{24t}{{t}^{2}+36}}$=$\frac{（{t}^{2}+4）（{t}^{2}+36）}{（{t}^{2}+12）（{t}^{2}+12）}$，
令t²+12=m＞12，则k=$\frac{（m-8）（m+24）}{{m}^{2}}$=$1+\frac{16}{m}-\frac{192}{{m}^{2}}$=-192$（\frac{1}{m}-\frac{1}{24}）^{2}$+$\frac{4}{3}$$≤\frac{4}{3}$，
当且仅当m=24，即t=$±2\sqrt{3}$时，取“=”，
所以k的最大值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、二次函数的单调性、三角形面积计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．