Question

10．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且$PD=CD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BC$，过棱PC的中点AB₁⊥PQ，作EF⊥PB交PB于点PQD，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．
（2）求异面直线与BE所成角的余弦值及二面角B-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥BC，BC⊥DE，DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，进而DE⊥PB，再由EF⊥PB，能证明PB⊥平面DEF．
（2）推导出∠EBC就是异面直线AD与BE所成的角，∠FEB就是二面角B-DE-F的平面角，由此能求出二面角B-DE-F的余弦值．

解答 证明：（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
又BC⊥CD，且PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，…（2分）
而DE?平面PCD，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，…（4分）
而PB?平面PBC，所以DE⊥PB，
又EF⊥PB，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．…（6分）
解：（2）不妨设PD=CD=$\sqrt{2}$，则PC=BC=2，
∴EC=1，BE=$\sqrt{5}$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（8分）
∵AD∥BC，∴∠EBC就是异面直线AD与BE所成的角．
在Rt△BCE中，$cos∠EBC=\frac{BC}{BE}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
故异面直线AD与BE所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（10分）
由（1）知DE⊥平面PBC．从而DE⊥EF，DE⊥EB，
∴∠FEB就是二面角B-DE-F的平面角．
在Rt△BEF中，$cos∠FEB=\frac{EF}{BE}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
故二面角B-DE-F的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．