Question

20．已知一个椭圆的焦点在x轴上、离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点到右准线（$x=\frac{a^2}{c}$）的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）一条直线经过椭圆的一个焦点且斜率为1，求直线与椭圆的两个交点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），有椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点到右准线（$x=\frac{a^2}{c}$）的距离为$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，联立即可求得a和b的值，由b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线方程为y=x-$\sqrt{3}$，代入椭圆方程，有韦达定理及弦长公式丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可求得直线与椭圆的两个交点之间的距离．

解答 解：（1）由题意得：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
有椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
右焦点到右准线（$x=\frac{a^2}{c}$）的距离为$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
代入即可求得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：椭圆的右焦点为（$\sqrt{3}$，0）不妨设直线方程为y=x-$\sqrt{3}$，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0，x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$，
∴直线与椭圆的两个交点之间的距离丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4×\frac{8}{5}}$=$\frac{8}{5}$．
直线与椭圆的两个交点之间的距离$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．