Question

11．已知等差数列{a_n}首项为2，公差为2，等比数列{b_n}首项为1，公比为2．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式可求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）利用裂项法可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），累加可求求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的首项为2，公差为2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n；
又等比数列{b_n}的首项为1，公比为2，
∴b_n=2^n-1；
（2）∵a_n=2n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．