Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx．
（1）求函数f（x）的定义域并求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域与导数，利用导函数的符号，推出函数的单调性，求出单调区间．
（2）通过函数的单调性，求解函数的极值．

解答 （本题满分13分）
解：（1）要使f（x）有意义，则x的取值范围是（0，+∞）（1分）
因为$f'（x）=x+\frac{4}{x}-5$．      （3分）
由f'（x）＞0得$x+\frac{4}{x}-5＞0$．
因为x＞0，所以x²-5x+4＞0，解得即x＜1，或a∈R．    （5分）
由$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1$得g（x）=（lnx-1）e^x+x
因为e，所以f（x），即（0，e]． （7分）
所以x₀∈（0，e]的单调增区间为y=g（x）；单调减区间为x=x₀．  （9分）
（2）由（1）知当x=1时，函数f（x）取得极大值为$f（1）=-\frac{9}{2}$（11分）
当x=4时，函数f（x）取得极小值为f（4）=-12+4ln4（13分）

点评 本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．