Question

6．已知函数f（x）=lnx-（$\frac{1}{2}$）^x+1，则不等式f（2x-3）＜$\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． {x|{$\frac{3}{2}$＜x＜2}
• B． {x|${\frac{1}{2}$＜x＜2}
• C． {x|x＜1}
• D． {x|-1＜x＜$\frac{3}{2}}\right.$}

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，当x=1时，可得f（1）=$\frac{1}{2}$，不等式f（2x-3）＜$\frac{1}{2}$转化为f（2x-3）＜f（1），利用单调性求解．

解答 解：函数f（x）=lnx-（$\frac{1}{2}$）^x+1，
∵y=lnx是增函数，y=$-（\frac{1}{2}）^{x}$也是增函数，
∴函数f（x）=lnx-（$\frac{1}{2}$）^x+1是定义域（0+∞）上的单调增函数．
当x=1时，可得f（1）=$\frac{1}{2}$，
不等式f（2x-3）＜$\frac{1}{2}$转化为f（2x-3）＜f（1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＜1}\\{2x-3＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{2}$＜x＜2．
故选A．

点评 本题考察了函数单调性的判断，“增+增等于增”和利用单调性求解不等式问题．属于中档题．