Question

14．已知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求$\frac{sinθ+2cosθ}{sinθ-cosθ}$的值；
（2）若（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=1，其中O为坐标原点，求sinθ•cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则cosθ=2sinθ，代入可得$\frac{sinθ+2cosθ}{sinθ-cosθ}$的值；
（2）若（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=1，则sinθ+cosθ=$\frac{1}{2}$，两边平方可得sinθ•cosθ的值．

解答 解：（1）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（2sinθ-1，cosθ），
$\overrightarrow{BC}$=（2sinθ，cosθ-1），
若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则（2sinθ-1）²+cos²θ=4sin²θ+（cosθ-1）²，
解得：cosθ=2sinθ，
∴$\frac{sinθ+2cosθ}{sinθ-cosθ}$=$\frac{sinθ+4sinθ}{sinθ-2sinθ}$=-5；
（2）若（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=1，
则（1，2）•（2sinθ，cosθ）=2sinθ+2cosθ=1，
即sinθ+cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ=$\frac{1}{4}$，
∴sinθ•cosθ=-$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模，三角函数的恒等变换，难度中档．