Question

19．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，2AB=2AD=CD，侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE⊥平面PCD；
（2）求二面角B-PC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PD 中点 G，连 EG、AG，则△PAD 是正三角形，AG⊥PD，又易知 CD⊥平面 PAD，因此AG⊥CD，则AG⊥平面 PCD．EG∥CD∥AB，且 EG=$\frac{1}{2}$CD=AB，BE∥AG，从而 BE⊥平面 PCD；
（2）取 AD 中点 H，连结 PH、HC，取HC中点N，过N作MN⊥BD于点 M，连接ME．则PH⊥平面ABCD，EM⊥BD，故∠EMN就是所求二面角的平面角，求得EM和EM，在Rt△EMN 中，sin∠EMN=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，即可求得二面角B-PC-D的正弦值．

解答 解：（1）证明：取PD中点 G，连接EG、AG，则△PAD 是正三角形，
∴AG⊥PD，又易知CD⊥平面PAD，
∴AG⊥CD，
∴AG⊥平面 PCD．
又∵EG∥CD∥AB，且EG=$\frac{1}{2}$CD=AB，
∴BE∥AG，从而 BE⊥平面 PCD．

（2）取AD中点H，连结PH、HC，
取HC中点N，过N作MN⊥BD于点 M，连接ME．
由条件易得：PH⊥平面ABCD，又N、E分别是HC和PC的中点，
∴EN⊥平面ABCD，则由三垂线定理得：EM⊥BD，
故∠EMN就是所求二面角的平面角．设AB=AD=a，
则EN=$\frac{1}{2}$PH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，BD=$\sqrt{2}$a，DE=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴BE=AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴ME=$\frac{BE•DE}{BD}$=$\frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{2}}$a，
∴在Rt△EMN 中，sin∠EMN=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴∠EMN=arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴所求二面角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查直线与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质等基础知识，二面角的求法，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于中档题．