Question

8．对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，4，5，…，23}，若M⊆A，且存在a，b∈M，b＜a，b|a，则称M为集合A的“和谐集”．
（1）存在q∈A，使得2011=91q+r （0≤r＜91），试求q，r的值；
（2）已知集合B={5，7，8，9，11，12，t}满足B⊆A，但B不为“和谐集”，试写出所有满足条件的t值；
（3）已知集合C为集合A的有12个元素的子集，又m∈A，当m∈C时，无论C中其它元素取何值，C都为集合A的“和谐集”，试求满足条件的m的最大值，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于2011=91×22+9，可得q，r．
（2）集合B={5，7，8，9，11，12，t}满足B⊆A，但B不为“和谐集”，经过验证可得：所有满足条件的t值为：13，17，19，23．
（3）当m=8时，记M={7+i|i=1，2，…，16}，N={2（7+i）|i=1，2，3，4}，记P=C_MN，则card（P）=12，显然对任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．故P是非“和谐集”，此时P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．同样的，当m=9，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”．因此m≤7．下面再证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”即可．

解答 解：（1）∵2011=91×22+9，∴q=22，r=9．
（2）集合B={5，7，8，9，11，12，t}满足B⊆A，但B不为“和谐集”，经过验证可得：
所有满足条件的t值为：13，17，19，23．
（3）当m=8时，记M={7+i|i=1，2，…，16}，N={2（7+i）|i=1，2，3，4}记P=C_MN，则card（P）=12，显然对任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．故P是非“和谐集”，此时P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．同样的，当m=9，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”．因此m≤7．
下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．
设B={a₁，a₂，…，a₁₁，7}，若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”．
现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合B₁={2，4，8，16}，B₂={3，6，12}，B₃={5，10，20}，B₄={9，18}，B₅={11，22}，B'={13，15，17，19，23}．
以上B₁，B₂，B₃，B₄，B₅每个集合中的元素都是倍数关系．考虑B'⊆B的情况，也即B'中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B₁，B₂，B₃，B₄，B₅这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．
综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7．

点评 本题考查了新定义“和谐集”、分类讨论思想方法、数的整除理论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．