Question

16．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}x$．
（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x＞1时，$f（x）+\frac{a}{x}＜0$恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：当n∈N^*且n≥2时，$\frac{1}{2ln2}+\frac{1}{3ln3}+…+\frac{1}{nlnn}＞\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求出切线斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+$\frac{a}{x}$＜0恒成立，等价于k＜$\frac{1}{2}$x²-xlnx，构造函数，求最值，即可求实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$，把x=1，2，…n分别代入上面不等式，并相加得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$，
f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，
切点为（1，-$\frac{1}{2}$），
f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1），
即为x-2y-2=0；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+$\frac{a}{x}$＜0恒成立，等价于k＜$\frac{1}{2}$x²-xlnx，
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx，则g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=$\frac{x-1}{x}$．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
故h（x）＞h（1）=0，
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=$\frac{1}{2}$．
∴k≤$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，当x＞1时，lnx-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$＜0，
可化为xlnx＜$\frac{{x}^{2}-1}{2}$，
又xlnx＞0，
从而，$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$．
把x=2，…n分别代入上面不等式，并相加得，
$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2{n}^{2}+2n}$．

点评 本题属导数的综合应用题，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，会利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，有难度．