Question

6．已知$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$，
（1）求函数f（x）的对称轴所在直线的方程；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式将函数化简y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的性质求解f（x）的对称轴所在直线的方程．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：（1）函数$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$，
化简得：$f（x）=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
令$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
解得：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
即得f（x）的对称轴方程为：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
（2）由（1）得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵2x+$\frac{π}{6}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]是单调递增区间，即$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$（k∈Z）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．