Question

14．在直角坐标系xOy中，F₁，F₂分别为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，点P在椭圆上，若△POF₂是面积为$\sqrt{3}$的正三角形，则椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 椭圆上存在点P使△POF₂为正三角形，设F为左焦点，|OF₂|=c，不妨P在第二象限，由△POF₂是面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•丨PF₂丨²=$\sqrt{3}$，解得：丨PF₂丨=2，由等腰三角形的性质可知：△PF₁F₂为直角三角形，由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，a=$\sqrt{3}$+1，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．

解答 解：∵椭圆上存在点P使△POF₂为正三角形，设F为左焦点，|OF₂|=c，不妨P在第二象限，

由△POF₂是面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•丨PF₂丨²=$\sqrt{3}$，解得：丨PF₂丨=2，
则|OF₂|=c=2，
有丨OP丨=丨OF₂丨，
∴△OPF₁为等腰三角形，
∴∠PF₁O=∠OPF₁=30°，
∴△PF₁F₂为直角三角形，
∴丨PF₁丨=2$\sqrt{3}$，
由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，
即a=$\sqrt{3}$+1，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，等腰三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．