Question

5．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}m{x^3}-（2+\frac{m}{2}）{x^2}+4x+1，\;g（x）=x+m$．
（1）当m≥4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）是否存在m＜0，使得对任意的x₁，x₂∈[2，3]，都有f（x₁）-g（x₂）≤1恒成立，求出m的取值范围；
（3）若函数h（x）=xg（x）+n在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求n（1+m+n）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，讨论m=4，m＞4，由导数大于0，可得增区间；
（2）假设存在m＜0，使得命题成立．求出f（x）的导数，及单调区间，可得f（x）最大值，g（x）的最小值，即[f（x₁）-g（x₂）]_max≤1，亦即f（x₁）_max-g（x₂）_min≤1恒成立．得到m的不等式，即可得到m的范围；
（3）设函数h（x）=x²+mx+n的两个零点为x₁、x₂（0＜x₁，x₂＜1），则f（x）=（x-x₁）（x-x₂），n（1+m+n）=f（0）f（1），运用基本不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）f'（x）=mx²-（4+m）x+4=（x-1）（mx-4）---------（2分）
当m=4时，f'（x）=4（x-1）²≥0，∴f（x）在（-∞，+∞）上单增，---------（3分）
当m＞4时，$\frac{4}{m}＜1$，∴f（x）的递增区间为$（-∞，\frac{4}{m}），\;（1，+∞）$．---------（4分）
（2）假设存在m＜0，使得命题成立，此时$f'（x）=m（x-1）（x-\frac{4}{m}）$．
∵m＜0，∴$\frac{4}{m}＜1$．
则f（x）在$（-∞，\frac{4}{m}）$和（1，+∞）递减，在$（\frac{4}{m}，1）$递增．
∴f（x）在[2，3]上递减，又g（x）在[2，3]递增．
∴$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{2}{3}m+1，\;g{（x）_{min}}=g（2）=2+m$．---------（6分）
因此，对x₁，x₂∈[2，3]，f（x₁）-g（x₂）≤1恒成立．
即[f（x₁）-g（x₂）]_max≤1，亦即f（x₁）_max-g（x₂）_min≤1恒成立．
∴$\frac{2}{3}m+1-（2+m）≤1$∴m≥-6．又m＜0故m的范围为[-6，0）．-------（8分）
（3）设函数h（x）=x²+mx+n的两个零点为x₁、x₂（0＜x₁，x₂＜1），
则f（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
又f（0）=n=x₁x₂＞0，f（1）=1+m+n=（1-x₁）（1-x₂）＞0，-------（10分）
∴n（1+m+n）=f（0）f（1）．
而$0＜f（0）f（1）={x_1}{x_2}（1-{x_1}）（1-{x_2}）≤{（\frac{{{x_1}+1-{x_1}}}{2}）^2}{（\frac{{{x_2}+1-{x_2}}}{2}）^2}=\frac{1}{16}$，
由于x₁≠x₂，故$0＜f（0）f（1）＜\frac{1}{16}$，∴$0＜n（1+m+n）＜\frac{1}{16}$．…（12分）

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题合函数零点问题的解法，注意运用转化思想和分类法，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于难题．