Question

18．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（2）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案

解答 解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，PD?平面ABCD，所以PA⊥FD，
连接AF，易知AF=DF=$\sqrt{2}$，所以AF²+DF²=AD²，从而AF⊥FD，
又因为AF∩PA=A，AF?平面PAF，PA?平面PAF，
所以FD⊥平面PAF，又因为PF?平面PAF，所以；PF⊥FD．
（2）因为PB与平面ABCD所成的角为45⁰，所以∠PBA=45°，AD=AB=1．
过F做FM⊥AD于M，过点M做MN⊥PD于N，则∠MNF就是二面角A-PD-F的平面角，
事实上FM⊥AD，FM⊥AP，PA∩AD=A，
所以FM⊥平面PAD，PD?平面PAD，∴FM⊥PD，又 MN⊥PD，
MN?平面MNF，MF?平面MNF，MN∩FM=M，∴PD⊥平面MNF．
其中FM=AB=1，MN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，NF=$\sqrt{F{M}^{2}+M{N}^{2}}=\frac{\sqrt{30}}{5}，cos∠MNF=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角A-PD-F的余弦值为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了求平面间的夹角，空间直线与直线之间的位置关系，解法有向量法和几何法，几何法的关键是熟练掌握空间线面关系的判定，性质．属于中档题．