Question

9．设函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）-4cos（π-x）sin（x-$\frac{π}{6}$）
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x），再计算f（0）的值，
（2）利用正弦函数的图象与性质求f（x）的单调增区间．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）-4cos（π-x）sin（x-$\frac{π}{6}$）
=cos2x+4cosx（sinxcos$\frac{π}{6}$-cosxsin$\frac{π}{6}$）
=cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-（1+cos2x）
=$\sqrt{3}$sin2x-1；
（1）f（0）=$\sqrt{3}$sin0-1=-1；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，（k∈Z）．

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．