Question

3．在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个不同的数．
（1）组成三位数“abc”，若满足a＜b＞c的三位数叫做凸数，这样的凸三位数有多少个？
（2）设X为所取3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）从9个自然数中，任取3个不同的数，共有${C}_{9}^{3}$=84种等可能的结果，由条件得最大的在中间，其它两个排两边，有2种排法，由此能求出这样的三位数的个数．
（2）由题意得X的取值范围为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）从9个自然数中，任取3个不同的数，共有${C}_{9}^{3}$=84种等可能的结果…（2分）
由条件得最大的在中间，其它两个排两边，有2种排法，…（4分）
所以这样的三位数共有$C_9^3×2=84×2=168$个．…（6分）
（2）由题意得X的取值范围为0，1，2，3，…（7分）
P（X=0）=$\frac{C_5^0C_4^3}{C_9^3}=\frac{1}{21}$，P（X=1）=，
P（X=2）=$\frac{C_5^2C_4^1}{C_9^3}=\frac{10}{21}$，P（X=3）=$\frac{C_5^3C_4^0}{C_9^3}=\frac{5}{42}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{42}$

…（11分）
（算对1个给（1分），不列表格或只列表格照样给分）
EX=$0×\frac{1}{21}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{10}{21}+3×\frac{5}{42}=\frac{5}{3}$…（13分）

点评 本题考查排列组合数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．