Question

11．已知PA垂直于以AB为直径的ΘO所在的平面，C是ΘO上异于A，B的动点，PA=1，AB=2，当三棱锥P-ABC取得最大体积时，求：
（1）PC与AB所成角的大小；
（2）PA与面PCB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，△ACB为等腰直角三角形，补形后求解直角三角形可得PC与AB所成角的大小；
（2）由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AC，可得BC⊥平面PAC，则平面PBC⊥平面PAC，过A作AT⊥PC，垂足为T，则AT⊥平面PBC，∠APT即为PA与平面PCB所成角，然后求解直角三角形可得PA与面PCB所成角的大小．

解答 解：（1）如图，三棱锥P-ABC高PA=1，要使体积最大，则底面△ABC的面积最大，
∵AB=2，则AC=BC时△ABC面积最大，把三棱锥P-ABC补形，得到长方体PQ，
∴∠CPQ即为PC与AB所成角，
由AB=2，得AC=$\sqrt{2}$，又PA=1，∴PC=$\sqrt{3}$，
∴cos∠CPQ=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则∠CPQ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即PC与AB所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，则平面PBC⊥平面PAC，
过A作AT⊥PC，垂足为T，则AT⊥平面PBC，∠APT即为PA与平面PCB所成角．
由PA•AC=PC•AT，得AT=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠APT=$\frac{AT}{PA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
则∠APT=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即PA与面PCB所成角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角及线面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．