Question

4．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，且过点A（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，设直线方程为y=x+m．
（Ⅰ）求椭圆标准方程
（Ⅱ）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（Ⅲ）若直线被椭圆截得的弦长为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求直线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，求出a，b，c的值，可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）将直线的方程y=x+m与椭圆的方程4x²+y²=1联立，得到5x²+2mx+m²-1=0，利用△=-16m²+20≥0即可求得m的取值范围；
（Ⅲ）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点AB之间的距离|AB|=$\sqrt{2}$ $\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，从而可求得m的值．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵椭圆中心在原点，焦点在y轴上，且过点A（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆的标准方程为：${y}^{2}+\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$，即4x²+y²=1：
（Ⅱ）把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x²+（x+m）²=1
即：5x²+2mx+m²-1=0，
△=（2m）²-4×5×（m²-1）=-16m²+20≥0
解得：-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤m≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（Ⅲ）设该直线与椭圆相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的两根，
由韦达定理可得：x₁+x₂=-$\frac{2m}{5}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-1}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$ $\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2[（-\frac{2m}{5}）^{2}-4×\frac{{m}^{2}-1}{5}）}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；
∴m=0．
∴直线的方程为y=x．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．