Question

14．已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1在x=1处有极值m，n∈R
（Ⅰ）求m与n的关系式；
（Ⅱ）当m=-2时，求f（x）的单调区间及极小值点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，求导，则f′（1）=0，求得m与n的关系表达式．
（Ⅱ）求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极小值；

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n，
因为x=1是f（x）的一个极值点，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，
所以n=3m+6，
m与n的关系式为：n=3m+6．
（Ⅱ）m=-2，则n=0，函数f（x）=，-2x³+3x²+1，函数的导数为f′（x）=-6x²+6x．
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=1．
由f′（x）＞0，得0＜x＜1，即f（x）的单调递增区间（0，1），
由f′（x）＜0，得x＜0或x＞1，所以函数单调递减区间（-∞，0），（1，+∞）．
∴f（x）的极小值点x=0，极小值为：f（0）=1．

点评 考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题，要求熟练掌握导数的应用．函数的最值的求法，考查计算能力．