Question

19．设函数f（x）=|2x-4|+1．
（1）画出函数y=f（x）的图象．
（2）若对任意x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数表示为分段函数形式，然后进行作图即可，
（2）利用不等式恒成立，转化为最值恒成立即可．

解答 解：（1）y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3，}&{x≥2}\\{5-2x，}&{x＜2}\end{array}\right.$，则对应的函数图象为：

（2）∵f（x）=|2x-4|+1≥1，
∴若对任意x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，
则等价为a²-3a≤1，即a²-3a-1≤0，
得$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$＜a＜$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，
即实数a的取值范围是$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$＜a＜$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题主要考查函数图象的应用，以及不等式恒成立问题，将函数表示为分段函数形式以及利用最值恒成立是解决本题的关键．