Question

10．已知数列{a_n}中，${a_1}=1，{a_2}=\frac{1}{4}$，且$\frac{1}{{n{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（n-1）{a_n}}}-\frac{1}{n（n-1）}（n≥2，n∈N）$．  
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对一切n∈N^*，有$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2＜\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 （I）利用“累加求和”与“裂项求和”方法即可得出．
（Ⅱ）当k≥2，有$a_k^2=\frac{1}{{{{（3k-2）}^2}}}＜\frac{1}{（3k-4）（3k-1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3k-4}-\frac{1}{3k-1}）$，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．

解答 （Ⅰ）解：由已知，对n≥2，$\frac{1}{{n{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（n-1）{a_n}}}-\frac{1}{n（n-1）}$，
即  $\frac{1}{{n{a_{n+1}}}}-\frac{1}{{（n-1）{a_n}}}=-（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
于是，$\sum_{k=2}^{n-1}{[{\frac{1}{{k{a_{k+1}}}}-\frac{1}{{（k-1）{a_k}}}}]}=-\sum_{k=2}^{n-1}{（{\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}}）}=-（1-\frac{1}{n-1}）$，
即 $\frac{1}{{（n-1）{a_n}}}-\frac{1}{a_2}=-（1-\frac{1}{n-1}），n≥2$，
∴$\frac{1}{{（n-1）{a_n}}}=\frac{1}{a_2}-（1-\frac{1}{n-1}）=\frac{3n-2}{n-1}$，${a_n}=\frac{1}{3n-2}，n≥2$．
又n=1时也成立，故${a_n}=\frac{1}{3n-2}，n∈{N^*}$．
（Ⅱ）证明：当k≥2，有$a_k^2=\frac{1}{{{{（3k-2）}^2}}}＜\frac{1}{（3k-4）（3k-1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3k-4}-\frac{1}{3k-1}）$，
∴n≥2时，有$\sum_{k=1}^n{a_k^2}=1+\sum_{k=2}^n{a_k^2}＜1+\frac{1}{3}[{（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）+…+（\frac{1}{3n-4}-\frac{1}{3n-1}）}]$=$1+\frac{1}{3}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3n-1}}）＜1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$．
又n=1时，$a_1^2=1＜\frac{7}{6}$．
故对一切n∈N^*，有$\sum_{k=1}^n{a_k^2}＜\frac{7}{6}$．

点评 本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．