Question

6．（理）已知点P（-4，4），曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），若Q是曲线C上的动点，则线段PQ的中点M到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t为参数）距离的最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．．

Answer 1

分析 设Q（8cosθ，3sinθ）（0≤φ＜2π），则M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}$sinθ），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t为参数）的普通方程为x-2y-7=0，利用点到直线的距离公式可得：点M到直线l的距离，利用三角函数的单调性与极值即可得出．

解答 解：设Q（8cosθ，3sinθ）（0≤φ＜2π），则M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}$sinθ），
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t为参数）的普通方程为x-2y-7=0，
则点M到直线l的距离为d=$\frac{|-2+4cosθ-4-3sinθ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ-α）+13|}{\sqrt{5}}$
∴点M到直线l的距离最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程及其应用、中点坐标公式、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．