Question

9．已知P为椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$上的任意一点，O为坐标原点，M在线段OP上，且$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若A（-4，0），B（0，4），C为轨迹E上的动点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出M，P的坐标，由向量等式把P的坐标用M的坐标表示，代入椭圆方程整理可得点M的轨迹E的方程；
（2）写出直线AB的截距式方程，再设出与直线AB平行的直线l的方程为x-y+m=0，与椭圆方程联立，利用判别式等于0求得m值，结合三角形面积公式得答案．

解答 解：（1）设M（x，y），P（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$，得$（{x，y}）=\frac{1}{3}（{{x_0}，{y_0}}）⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=3x\\{y_0}=3y\end{array}\right.$，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴$\frac{{{x_0}^2}}{36}+\frac{{{y_0}^2}}{9}=1$，即$\frac{9{x}^{2}}{36}+\frac{9{y}^{2}}{9}=1$，则$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴点M的轨迹E的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由题意可得直线AB的方程为x-y+4=0，
设与直线AB平行的直线l的方程为x-y+m=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得5x²+8mx+4m²-4=0．
令△=0，得64m²-4×5×（4m²-4）=0，解得$m=±\frac{5}{4}$，
∵△ABC的面积$S=\frac{1}{2}\sqrt{{4^2}+{4^2}}\frac{{|{m-4}|}}{{\sqrt{2}}}=2|{m-4}|$，
∴当$m=-\frac{5}{4}$时，△ABC的面积有最大值为$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．