Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为4，且经过点（2，-3）．若点P在椭圆上，且在x轴上方，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）①求△PF₁F₂的内切圆M的方程；
②若直线l过△PF₁F₂的内切圆圆心M，交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，2c=4，c=2，则a²=b²+4，将点（2，-3）代入椭圆方程：$\frac{4}{{b}^{2}+4}+\frac{9}{{b}^{2}}=1$．即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）①由（1）可知：c=2，F₁（-2，0），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，由PF₁⊥F₁F₂，代入椭圆方程得$\frac{4}{16}+\frac{{y}_{P}^{2}}{12}=1$，求得P点坐标，则在Rt△PF₁F₂中，丨PF₁丨=3，丨F₁F₂丨=4，丨PF₂丨=5，则r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，即M（-1，1），则圆方程为：（x+1）²+（y-1）²=1；
②设直线l：y=k（x+1）+1，代入椭圆方程，由A，B关于点M（-1，1）对称，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{8k（k+1）}{4{k}^{2}+3}$=-1，解得：k=$\frac{3}{4}$，即可求得椭圆方程．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，2c=4，c=2，
则a²=b²+4，
将点（2，-3）代入椭圆方程：$\frac{4}{{b}^{2}+4}+\frac{9}{{b}^{2}}=1$．解得：a²=16，b²=12，
则椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．                                     …（5分）
（2）①由（1）可知：c=2，F₁（-2，0），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥F₁F₂，
设点P（-2，y_P）（y_P＞0），代入椭圆方程得$\frac{4}{16}+\frac{{y}_{P}^{2}}{12}=1$，从而y_P=3，
即P（-2，3），…（7分）
则在Rt△PF₁F₂中，丨PF₁丨=3，丨F₁F₂丨=4，丨PF₂丨=5，
设内切圆半径为r，圆心坐标为M（x_M，y_M），则r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，x_M=-2+1=-1，y_M=1，即M（-1，1），
故所求圆方程为：（x+1）²+（y-1）²=1，…（10分）
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知直线AB斜率k，存在且不等于0，故设直线l：y=k（x+1）+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²+8k（k+1）x+4（k+1）²-48=0，
由A，B关于点M（-1，1）对称，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{8k（k+1）}{4{k}^{2}+3}$=-1，解得：k=$\frac{3}{4}$，…（15分）
所以，直线l的方程为：y-1=$\frac{3}{4}$（x+1），即3x-4y+7-0．                  …（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，三角形内切圆的方程，考查计算能力，属于中档题．