Question

16．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（-1，0）、B（4，0）、C（0，c）．
（1）若$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，求c的值；
（2）当c满足（1）问题的结论时，求△ABC的重心坐标G（x，y）．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，根据$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$便有$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，进行数量积的运算即可求出c．
（2）设△ABC的重心坐标为（x，y），则有三角形的重心坐标公式可得 x=$\frac{-1+4}{3}$，y=$\frac{20}{3}$，由此求得△ABC的重心坐标．

解答 解：（1）∵A（-1，0）、B（4，0）、C（0，c），
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，c），$\overrightarrow{BC}$=（-4，c），
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，即-4+c²=0，
解得c=±2；
（2）设△ABC的重心坐标为G（x，y），
当c=2时，则有三角形的重心坐标公式可得 x=$\frac{-1+4+0}{3}$=1，y=$\frac{0+0+2}{3}$=$\frac{2}{3}$，
当c=-2时，则有三角形的重心坐标公式可得 x=$\frac{-1+4+0}{3}$=1，y=$\frac{0+0-2}{3}$=-$\frac{2}{3}$，
故△ABC的重心坐标为 G（1，$\frac{2}{3}$）或（1，-$\frac{2}{3}$）．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．考查三角形的重心坐标公式的应用，属于基础题．