Question

8．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=4，EF=3，AD=AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求二面角G-DE-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据题目条件先证明EB、EA、EF两两相互垂直，然后以E为原点，以EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，运用向量数量积等于0，从而证明BD⊥EG；
（2）在（1）的基础上，求出二面角的两个半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值．

解答 解：（1）证∵EF⊥平面ABE，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，
又AE⊥EB，
∴FE，BE，AE两两垂直．
以点E为坐标原点，FE，BE，AE分别为X，Y，Z轴
建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），
C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），
G（2，2，0）．
∴$\overrightarrow{EG}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，2，2）$，
∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EG}=-2×2+2×2+2×0=0$，
∴BD⊥EG．
（2）由已知得$\overrightarrow{EB}=（2，0，0）$是平面DEF的法向量．
设平面DEG的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{ED}=（0，2，2），\overrightarrow{EG}=（2，2，0）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，1）$．
设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{EB}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴平面EDG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了，直线与平面垂直的性质，考查了运用平面法向量求二面角的三角函数值，解答此题的关键是正确建立空间直角坐标系，是中档题