Question

16．已知边长为$2\sqrt{3}$的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为28π．

Answer 1

分析 取BD的中点E，连AE，CE，外接球球心在面ACE内，OG⊥CE，OE垂直平分AC，其中CG=2GE=2，∠CEA=120°，可得四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．

解答 解：如图1，取BD的中点E，连AE，CE．
由已知条件，面ACE⊥面BCD．则外接球球心在面ACE内，
如图2，OG⊥CE，OE垂直平分AC，其中CG=2GE=2，∠CEA=120°
∴$OG=GE•tan6{0}^{°}=\sqrt{3}$，
得$R=OC=OA=\sqrt{7}$，外接球的表面积为28π．
故答案为：28π．

点评 本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，求出四面体的外接球的半径是关键．