Question

7．定义在（-1，1）上的函数f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$，设F（x）=f（x+4），且F（x）的零点均在区间（a，b）内，其中a，b∈z，a＜b，则圆x²+y²=b-a的面积的最小值为（　　）

• A． π
• B． 2π
• C． 3π
• D． 4π

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断函数的单调性，利用函数零点的判断定理判断函数的零点，利用函数的周期关系判断，函数F（x）的零点，求出a，b的关系，即可得到结论．

解答 解：由函数$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$的导数为
f′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹⁵=$\frac{1-（-x）^{2016}}{1+x}$，
∵-1＜x＜1，∴1+x＞0，0≤x²⁰¹⁶＜1，则1-x²⁰¹⁶＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-（-x）^{2016}}{1+x}$=$\frac{1-{x}^{2016}}{1+x}$＞0，可得f（x）在（-1，1）上递增，
∵f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＜0，f（0）=1＞0
∴函数f（x）在（-1，1）上有唯一零点x₀∈（-1，0）
∵F（x）=f（x+4），得函数F（x）的零点是x₀-4∈（-5，-4），
∵F（x）的零点均在区间（a，b）内，
∴a≤-5且b≥-4，得b-a的最小值为-4-（-5）=1
∵圆x²+y²=b-a的圆心为原点，半径r=$\sqrt{b-a}$
∴圆x²+y²=b-a的面积的最小值是π．
故选：A

点评 本题主要考查函数零点的判断和应用，求出函数的导数，判断函数的单调性，以及利用函数零点的性质判断函数的零点所在的区间是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．