Question

12．已知函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的图象在x=$\frac{1}{e}$处的切线方程；
（Ⅱ）令f（x）=ax²+bx-x•（g（x））（a，b∈R）．
①若a≥0，求f（x）的单调区间；
②设a＞0，且对任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算g′（$\frac{1}{e}$）和g（$\frac{1}{e}$）代入切线方程求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，①通过讨论a的范围以及b的范围，求出函数的单调区间即可；②求出函数的极小值点，得到b=1-2a，通过讨论x的范围判断即可．

解答 解：（Ⅰ）$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$$g'（\frac{1}{e}）=\frac{1+1}{{\frac{1}{e^2}}}=2{e^2}$，$g（\frac{1}{e}）=-e$
所以切线方程为$y+e=2{e^2}（x-\frac{1}{e}）$即2e²x-y-3e=0…（3分）
（Ⅱ）由f（x）=ax²+bx-lnx，x∈（0，+∞），得f'（x）=$\frac{{2a{x^2}+bx-1}}{x}$．
①（i）当a=0时，f'（x）=$\frac{bx-1}{x}$．
若b≤0，当x＞0时，f'（x）＜0恒成立，
所以函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．
若b＞0，当0＜x＜$\frac{1}{b}$时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当x＞$\frac{1}{b}$时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{b}$），单调递增区间是（$\frac{1}{b}$，+∞）…（6分）
（ii）当a＞0时，令f'（x）=0，得2ax²+bx-1=0．
由△=b²+8a＞0得x₁=$\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$，x₂=$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$．
显然，x₁＜0，x₂＞0．
当0＜x＜x₂时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞x₂时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的单调递减区间是（0，x₂），单调递增区间是（x₂，+∞）．…（9分）
综上所述，
当a=0，b≤0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；
当a=0，b＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{b}$），单调递增区间是（$\frac{1}{b}$，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，x₂），单调递增区间是（x₂，+∞）．…（10分）
②由题意，函数f（x）在x=1处取得最小值，
由（1）知$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$是f（x）的唯一极小值点，
故$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$=1，整理得2a+b=1，即b=1-2a．
令ϕ（x）=2-4x+lnx，则ϕ'（x）=$\frac{1-4x}{x}$，ϕ'（x）=0，得x=$\frac{1}{4}$．
当0＜x＜$\frac{1}{4}$时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）单调递增；
当x＞$\frac{1}{4}$时，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）单调递减．
因此ϕ（x）≤$ϕ（\frac{1}{4}）$=1+$ln\frac{1}{4}$=1-ln4＜0，
故ϕ（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，
即lna=-2b．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．