Question

4．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其左焦点到点P（2，1）的距离为$\sqrt{10}$．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过（0，-2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，若存在，求出直线l的方程，不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：椭圆的由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，左焦点F（-c，0）到点P（2，1）的距离为$\sqrt{10}$，即（2+c）²+1=10，解得：c=1，由b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线斜率存在，设直线l的方程y=kx-2，代入椭圆方程，△＞0，解得k²＞$\frac{1}{4}$，y₁•y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=$\frac{12-12{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点M（2，0），$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，整理得：k²-8k+7=0，即可求得k=7或k=1，满足k²＞$\frac{1}{4}$，即可求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
左焦点F（-c，0）到点P（2，1）的距离为$\sqrt{10}$，即（2+c）²+1=10，解得：c=1，
则a=2，由b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，；
（Ⅱ）设满足条件的直线存在，①当直线的斜率不存在是，显然不符合题意，
②当直线斜率存在，设直线l的方程y=kx-2，直线l和圆C的交点为A （x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-16kx+4=0，
由△=256k²-16（4k²+3）＞0，解得：k²＞$\frac{1}{4}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，
y₁•y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4=k²×$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$-2k×$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$+4=$\frac{12-12{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，
以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点M（2，0），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
由$\overrightarrow{MA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-2，y₂），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁•y₂=0，
∴$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$-2×$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$+4+$\frac{12-12{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$=0，
整理得：k²-8k+7=0，解得：k=7或k=1，满足k²＞$\frac{1}{4}$，
∴y=x-2或y=7x-2，
出直线l的方程y=x-2或y=7x-2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标表示，韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．