Question

12．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（　　）

• A． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$
• B． $9\sqrt{3}$
• C． $\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$
• D． $9\sqrt{6}$

Answer 1

分析 如图所示，该几何体为三棱锥，AC=CB=3，点O为△ABC的重心，PO⊥底面ABC，PO=$\sqrt{6}$．PA=PB，即可得出该四面体是正四面体．

解答 解：如图所示，该几何体为三棱锥，AC=CB=3，点O为△ABC的重心，
PO⊥底面ABC，PO=$\sqrt{6}$．PA=PB，
CO=$\sqrt{3}$，CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}$=BD，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
PD=$\sqrt{O{P}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
PC=$\sqrt{P{O}^{2}+O{C}^{2}}$=3．PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=3．
∴该四面体是正四面体．
∴这个几何体的表面积=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$×4=9$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了正四面体的三视图与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．