Question

4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为10的正方形，若PD⊥平面ABCD，PD=AB．
（I）求证：AC⊥PB．
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，推导出AC⊥BD，AC⊥PD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．
（2）过点A作AE⊥PB于E，连结EO，则∠AEO为二面角A-PB-D的平面角，由此能求出二面角A-PB-D的大小．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，∴AC⊥PB
解：（2）过点A作AE⊥PB于E，连结EO，
由（1）可知AC⊥PB，∴PB⊥平面AEO，
∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角．
在Rt△PAB中，$AE=\frac{{10\sqrt{6}}}{3}$，
而由（1）知AC⊥平面PDB，AC⊥OE，
∴$sin∠AEO=\frac{AO}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠AEO=60°，
故二面角A-PB-D为60°．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．