Question

9．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x²-4x．
（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取得极值？证明你的结论；
（2）设g（x）=（a-2）x，若?x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）定义域，函数的导函数f′（x），假设存在实数a，使f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，求出a，验证推出结果．
（2）由f （x₀）≤g（x₀） 得：（x₀-lnx₀）a≥x₀²-2x₀，记F（x）=x-lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（1）=1＞0，转化a≥$\frac{{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}}{{x}_{0}-ln{x}_{0}}$，记G（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4=$\frac{2{x}^{2}-4x+a}{x}$
假设存在实数a，使f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…（2分）
此时，f′（x）=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$，当x＞0时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）递增．…（4分）
∴x=1不是f（x）的极值点．
故不存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值．…（5分）
（2）由f （x₀）≤g（x₀） 得：（x₀-lnx₀）a≥x₀²-2x₀ …（6分）
记F（x）=x-lnx（x＞0），∴F′（x）=$\frac{x-1}{x}$ （x＞0），．…（7分）
∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减；当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增．
∴F（x）≥F（1）=1＞0．…（8分）
∴a≥$\frac{{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}}{{x}_{0}-ln{x}_{0}}$，记G（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]
∴G′（x）=$\frac{（2x-2）（x-lnx）-（x-2）（x-1）}{（x-lnx）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{（x-lnx）^{2}}$…（9分）
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，∴2-2lnx=2（1-lnx）≥0，∴x-2lnx+2＞0
∴x∈（$\frac{1}{e}$，1）时，G′（x）＜0，G（x）递减；x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）递增…（10分）
∴G（x）_min=G（1）=-1∴a≥G（x）_min=-1．…（11分）
故实数a的取值范围为[-1，+∞）． …（12分）

点评 本题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，考查转化思想以及计算能力．