Question

14．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：平面AD₁E⊥平面A₁D₁E；
（2）求二面角E-AC₁-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出EA₁⊥AE，A₁D₁⊥AE，从而AE⊥平面A₁D₁E，由此能证明平面AD₁E⊥平面A₁D₁E；
（2）在平面B₁BCC₁内过点E作EF⊥BC₁于F，过F作FG⊥AC₁于G，连接EG，则∠EGF就是二面角E-AC₁-B的平面角，由此能求出二面角E-AC₁-B的平面角的正切值．

解答 证明：（1）如图，在矩形ABB₁A₁中，E为BB₁中点，且AA₁=2，AB=1，
所以AE=A₁E=$\sqrt{2}$，所以△A₁AE为等腰直角三角形，
EA₁⊥AE，…（2分）
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为底面是边长为1的正方形，
所以A₁D₁⊥平面A₁ABB₁．
又因为AE?平面A₁ABB₁，
所以A₁D₁⊥AE，所以AE⊥平面A₁D₁E，…（4分）
又因为AE?平面AD₁E，所以平面AD₁E⊥平面A₁D₁E．…（6分）
解：（2）因为AB⊥平面B₁BCC₁，所以平面ABC₁⊥平面B₁BCC₁，
所以只需在平面B₁BCC₁内过点E作EF⊥BC₁于F，而EF⊥平面ABC₁．
如图，过F作FG⊥AC₁于G，连接EG，
则∠EGF就是二面角E-AC₁-B的平面角…（8分）
在△EBC₁中，EF=$\frac{2{S}_{△EB{C}_{1}}}{B{C}_{1}}$=$\frac{EB•{C}_{1}{B}_{1}}{B{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以C₁F=$\sqrt{{C}_{1}{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
在△ABC₁中，FG=C₁F•sin∠FC₁G=${C}_{1}F•\frac{AB}{A{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，…（10分）
在Rt△EFG中，tan$∠EGF=\frac{EF}{FG}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
所以二面角E-AC₁-B的平面角的正切值大小为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．