Question

2．已知F₁，（-1，0），F₂（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）由椭圆的定义可知：点P的轨迹是以F₁（-1，0）F₂（1，0）为焦点的椭圆．可得椭圆方程为x²+2y²=2，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于点A，B在椭圆上，可得x12+2y12=2，x22+2y22=2，由“点差法”即可．

解答 解法一：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F₁（-1，0），F₂（-1，0）的距离之和为定值2$\sqrt{2}$，
所以点P的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（-1，0）为焦点的椭圆，．…（2分）
又a=$\sqrt{2}$，c=1，所以b=1，
故所求方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
设直线AB的方程为y=kx+n  （k≠0），
代入x²+2y²=2并整理得，（1+2k²）x²+4nkx+2n²-2=0，
依题意，△＞0，则 x₁+x₂=$\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}$，y1+y2=k（x₁+x₂）+2n=$\frac{2n}{1+2{k}^{2}}$，
从而可得点C的坐标为（$\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}，\frac{2n}{1+2{k}^{2}}）$，k_OC=-$\frac{1}{2k}$．
因为k_AB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）
解法二设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
（ⅰ）因为点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆上，
所以有：x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2
两式相减，得（x₁+x_2^）（x₁-x_2^）+2（y₁+y_2^）（y₁-y_2^）=0，
从而有$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{y}_{1+}{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$．
又y₁+y₂=-y₃，k_OC=$\frac{{Y}_{3}}{{x}_{3}}$，
因为k_AB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．