Question

11．S（1，1）是抛物线L：y²=2px（p＞0）上一点，以S为圆心，r为半径的圆，与x轴正半轴相交于A，B两点，连结并延长SA，SB，分别交椭圆L于C，D两点（如图所示）．
（1）求p的值及r的取值范围；
（2）求证：直线CD的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）求出p=$\frac{1}{2}$，关于x的方程（x-1）²=r²-1有两个不等的正数解，由此能出r的取值范围．
（2）SA，SB存在不为0的斜率，且两个斜率互为相反数，设直线SA的方程为y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），（y₁≠1），由直线SA的方程与抛物线L的方程联立，得（ky-1+k）（y-1）=0，从而C（$\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}-1$），同理得D（$\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{1}{k}-1$），由此能证明直线CD的斜率为定值．

解答 解：（1）∵S（1，1）在抛物线L：y²=2px（p＞0）上，
∴1²=2p×1，解得p=$\frac{1}{2}$，
∵圆S：（x-1）²+（y-1）²=r²，（r＞0）与x轴正半轴相交于A，B两点，
∴关于x的方程（x-1）²+1=r²，（r＞0），即（x-1）²=r²-1有两个不等的正数解，
∴r＞0，r²-1＞0，1-$\sqrt{{r}^{2}-1}$＞0，即1＜r＜$\sqrt{2}$．
∴r的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）．
证明：（2）由|SA|=|SB|=r，A，B是不同的两点，知SA，SB存在不为0的斜率，
且两个斜率互为相反数，
设直线SA的方程为y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），（y₁≠1），
由直线SA的方程与抛物线L的方程联立：$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，
得ky²-y+1-k=0，即（ky-1+k）（y-1）=0，
∴${y}_{1}=\frac{1}{k}-1$，C（$\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}-1$），
同理得D（$\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{1}{k}-1$），
∴直线CD的斜率k_CD=$\frac{\frac{1}{k}-1+\frac{1}{k}+1}{\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}}$=$\frac{2k}{（1-k）^{2}-（1+k）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴直线CD的斜率为定值-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查实数值及取值范围的求法，考查直线的斜率为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、直线方程的性质的合理运用．