Question

4．已知抛物线C₁：y²=2x及圆C₂：（x-1）²+y²=1．点P（a，b）为C₁上一点．
（Ⅰ）当a=2时，求过点P的圆C₂的切线方程；
（Ⅱ）当a＞2时，过点P作圆C₂的两条切线l₁，l₂分别与y轴交于B，C两点，求△PBC的面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，P（2，2）或P（2，-2），由此能出过点P的圆C₂的切线方程；
（Ⅱ）设P=（a，b）=（$\frac{{t}^{2}}{2}$，t），t≥2，A（1，0），由题意得PE=$\frac{{t}^{2}}{2}$，S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC×P_横坐标=$\frac{1}{4}$BC×t²，求出BC=$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}-4}$，设m=t²-4，利用均值定理能求出△PBC的面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，b²=2×2=4，解得b=±2，
∴P（2，2）或P（2，-2），
当P（2，2）时，设过点P的圆C₂的切线方程为y-2=k（x-2），
即kx-y-2k+2=0，
圆C₂：（x-1）²+y²=1的圆心C₂（1，0），半径r=1，
∴$\frac{|k-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴过点P的圆C₂的切线方程为y-2=$\frac{3}{4}$（x-2），即3x-4y+2=0，
当切线斜率不存在时，所求的切线为x=2，成立；
当P（2，-2）时，设过点P的圆C₂的切线方程为y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，
圆C₂：（x-1）²+y²=1的圆心C₂（1，0），半径r=1，
∴$\frac{|k-2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴过点P的圆C₂的切线方程为y+2=-$\frac{3}{4}$（x-2），即3x+4y+14=0，
当切线斜率不存在时，所求的切线为x=2，成立．
∴过点P（2，2）的圆C₂的切线方程为3x-4y+2=0和x=2．
过点P（2，-2）的圆C₂的切线方程为3x+4y+14=0和x=2．
（Ⅱ）设P=（a，b）=（$\frac{{t}^{2}}{2}$，t），t≥2，A（1，0），
由题意得：PE=$\sqrt{P{A}^{2}-1}$=$\sqrt{（\frac{{t}^{2}}{2}-1）^{2}+{t}^{2}-1}$=$\frac{{t}^{2}}{2}$，
由切线长知识PE=PF，BO=BE，CO=CF，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC×P_横坐标=$\frac{1}{4}$BC×t²，
又S_△PBC=$\frac{1}{2}$（BO+CO+BE+CF+PE+PF）r=$\frac{1}{2}$（2BC+2PE）r=BC+$\frac{1}{2}$t²，
∴$\frac{1}{4}$BC×t²=BC+$\frac{1}{2}$t²，
解得：BC=$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}-4}$，
设m=t²-4，
则S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC×P_横坐标=$\frac{1}{4}$×$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}-4}$×t²=$\frac{1}{2}×\frac{（m+4）^{2}}{m}$=$\frac{1}{2}（m+\frac{16}{m}+8）$
≥$\frac{1}{2}×（2\sqrt{m×\frac{16}{m}}+8）$=8．
当且仅当m=4，即a=2时，△PBC的面积取最小值8．

点评 本题考查切线方程的求法，考查三角形面积最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、切线方程的合理运用．