Question

16．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知A（-2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值并写出此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的关系消元得到圆C的方程，将直线l的参数方程左侧展开，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）先求点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离为d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+9|}{\sqrt{2}}$，再求△ABM的面积S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=|2cos$θ-2sinθ+9|=|2\sqrt{2}$sin$（\frac{π}{4}-θ）$+9|，然后求最值．

解答 解：（1）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
所以普通方程为（x-3）²+（y+4）²=4．
∴圆C的极坐标方程：ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．
（2）点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离为d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+9|}{\sqrt{2}}$，
△ABM的面积S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=|2cos$θ-2sinθ+9|=|2\sqrt{2}$sin$（\frac{π}{4}-θ）$+9|
所以△ABM面积的最大值为9+2$\sqrt{2}$，此时点M为（3+$\sqrt{2}$，-4-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，属于基础题．