Question

7．清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：

题	A	B	C
答卷数	180	300	120

（Ⅰ）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）设应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出x，y份，由分层抽样的方法列出方程$\frac{3}{180}=\frac{x}{300}=\frac{y}{120}$，由此能求出结果．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{3}$）．由此有求出X的分布列及其数学期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）设应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出x，y份，
∵用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，
∴$\frac{3}{180}=\frac{x}{300}=\frac{y}{120}$，
解得x=5，y=2．
∴应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出5份，2份．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{3}$）．
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{0}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）=\frac{2}{9}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）^{0}$=$\frac{1}{27}$，
∴X的分布列为：

I	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

所以E（X）=$0×\frac{8}{27}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{1}{27}$=1．

点评 本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．