Question

11．如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出AC，根据勾股定理得出AB⊥AC，即CD⊥AC，由PA⊥平面ABCDE得出CD⊥PA，故CD⊥平面PAC，从而得出平面PAC⊥平面PCD；
（2）做AM⊥PC即可证明AM⊥平面PCD，又AB∥CD，故B到平面PCD的距离h=AM，求出AM，BP的值即可得出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：在△ABC中，∵∠ABC=45°，BC=4，AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos45°=8，
∴AC=2$\sqrt{2}$，∴BC²=AB²+AC²，
∴BA⊥AC．
又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，CD?平面ABCDE，
∴CD⊥PA，CD⊥AC，
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAC．
（2）∵AB=AP=AC=2$\sqrt{2}$，
∴PB=PC=$\sqrt{2}$AB=4，
过A做AM⊥PC，则AM=$\frac{AP•AC}{PC}$=2，
∵平面APC⊥平面PCD，平面APC∩平面PCD=PC，AM⊥PC，AM?平面APC，
∴AM⊥平面PCD，
即A到平面PCD的距离为AM=2，
∵AB∥CD，
∴B到平面PCD的距离h=AM=2，
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
∴sinθ=$\frac{h}{BP}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=30°．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，也可利用空间向量求出，属于中档题．