Question

17．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，且AA₁=2AB，D、M 分别为AB，CC₁的中点，求证：（1）CD∥平面A₁BM
（2）求二面角A₁-BM-D的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中点E，连接ME，DE，推导出四边形DEMC为平行四边形，从而CD∥EM，由此能证明CD∥平面A₁BM．
（2）在底面ABC内作直线AN⊥AC，以A为坐标原点，分别以射线AN，AC，A₁A的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A₁-BM-D的大小的余弦值．

解答 证明：（1）取A₁B的中点E，连接ME，DE，
则由D、M分别为AB、C₁C中点，
则有DE为三角形A₁AB的中位线，
所以DE∥A₁A，且DE=$\frac{1}{2}$A₁A，MC∥AA₁，
MC=$\frac{1}{2}$AA₁，
所以DE$\underset{∥}{=}$MC，∴四边形DEMC为平行四边形．
∴CD∥EM，
又EM?平面A₁BM，CD?平面A₁BM，
∴CD∥平面A₁BM．…（5分）
解：（2）在底面ABC内作直线AN⊥AC，如图，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，
A₁A⊥AC，A₁A⊥AN，
 以A为坐标原点，分别以射线AN，AC，A₁A的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，
则${A}_{1}（0，0，4a），B（\sqrt{3}a，a，0）$，M（0，2a，2a），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}a$，0），
$\overrightarrow{BM}=（-\sqrt{3}a，a，2a）$，$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-$\sqrt{3}a，-a，4a$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}a，-\frac{1}{2}a，0$），
设平面A₁BM和平面BMD的一个法向量分别为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-\sqrt{3}x-y+4z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（3，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$，
由图象知二面角A₁-BM-D的大小的为锐角
∴二面角A₁-BM-D的大小的余弦值为$\frac{\sqrt{105}}{35}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．